Operații cu numere reale

Acest material despre operații cu numere reale cuprinde următoarele noțiuni: modulul unui număr real, adunarea și scăderea numerelor reale, înmulțirea și împărțirea numerelor reale, puterea unui număr real cu exponent întreg, raționalizarea numitorilor de forma a\sqrt{b}, media aritmetică a n numere reale, media aritmetică ponderată a n numere reale, media geometrică a două numere reale și ecuația de forma x^2=a.

Modulul unui număr real:
Operații cu numere reale

Exemple:

|-\sqrt{7}| = – (-\sqrt{7}) = \sqrt{7}

|+2\sqrt{3}| = +2\sqrt{3}

|3\sqrt{2} - 5| = |\sqrt{18} - \sqrt{25}| = -(\sqrt{18} - \sqrt{25}) = –\sqrt{18} + \sqrt{25} = –3\sqrt{2} + 5

Adunarea și scăderea numerelor reale

Dacă a,b ϵ R atunci a+b ϵ R și a-b ϵ R.

Dacă termenii cuprind același radical, se scad/adună numerele din fața radicalului:

a\sqrt{c} ± b\sqrt{c} = (a ± b)\sqrt{c}

Exemplu: 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = (2+4)\sqrt{3} = 6\sqrt{3}

Dacă termenii nu cuprind același radical, se lasă sub forma unei sume/diferențe de numere iraționale:

Exemplu: 2\sqrt{2} + 3\sqrt{5} rămâne scris așa.

Înmulțirea și împărțirea numerelor reale

Dacă a,b ϵ R atunci a·b ϵ R și \frac{a}{b} ϵ R. (b nenul)

x\sqrt{a}\cdot y\sqrt{b} = xy\sqrt{ab}

Exemplu: 2\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{10} = 2\cdot 3\sqrt{5\cdot 10} = 6\sqrt{50} = 6\cdot5\sqrt{2} = 30\sqrt{2}

\dfrac{x\sqrt{a}}{y\sqrt{b}} = \dfrac{x}{y}\cdot\sqrt{\dfrac{a}{b}}, b,y nenule.

Exemplu: \dfrac{6\sqrt{15}}{3\sqrt{5}} = \dfrac{6}{3}\cdot\sqrt{\dfrac{15}{5}} = 2\sqrt{3}

Puterea unui număr real cu expoent întreg:

Dacă a ϵ R, p ϵ Z, atuci a^p ϵ R.

(a\sqrt{b})^n = a^n\cdot\sqrt{b^n}, a,b ϵ R, b≥0, n ϵ Z.

Exemplu: (2\sqrt{3})^4 = 2^4\cdot\sqrt{3^4} = 16\cdot 3^2 = 16\cdot 9 = 144.

(\sqrt{a})^2^n = a^n

Exemplu: \sqrt{2}^6 = 2^3

(\sqrt{a})^2^n^+^1 = (a^n)\sqrt{a}, a≥0, nϵ N.

Exemplu: (\sqrt{5})^7 = (5^3)\sqrt{5}

Raționalizarea numitorului de forma a\sqrt{b}

\dfrac{^\sqrt{c}) a}{b\sqrt{c}} = \dfrac{a\sqrt{c}}{bc}, c>0

Exemplu: \dfrac{^\sqrt{2}) 3}{5\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{5\cdot 2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{10}

Media aritmetică a n numere reale:

m_a(a_1,a_2,...,a_n) = \dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n}

Exemplu:

Un elev are notele 9, 5 și 7 la istorie. Care este media notelor sale?

m_a = \dfrac{9+5+7}{3} = \dfrac{21}{3} = 7

Media aritmetică ponderată a n numere reale

m_a_p = \dfrac{a_1\cdot p_1+a_2\cdot p_2+...+a_n\cdot p_n}{p_1+p_2+...+p_n}

Exemplu:

Într-o firma exista doi angajați cu salariu de 2500 lei, trei au salariul 3000 lei și un angajat are 4000 lei. Determinați salariul mediu din firma respectivă.

m_a_p = \dfrac{2500\cdot 2+3000\cdot 3+4000\cdot 1}{2+3+1} = \dfrac{18000}{6} = 3000 lei

Media geometrică a două numere reale pozitive a și b

m_g(a,b) = \sqrt{ab}

Exemplu:

Media geometrică a numerelor 2 și 4 este:

m_g(2,4) = \sqrt{2\cdot 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

Ecuația de forma x^2 = a, a ϵ R

a) Dacă a ϵ R, a< 0, atunci nu există soluții reale.

b) Dacă a ϵ R, a≥0, atunci:

Soluția este: S = {-\sqrt{a},+\sqrt{a}},

Exemplu: Ecuația x^2 = 7, are soluțiile:

x = -\sqrt{7} sau

x = +\sqrt{7}

Dacă ți-a plăcut materialul cu Operatii cu numere reale, nu uita să dai share paginii. Te aștept și la secțiunea Cursuri la matematică pentru a te înscrie la sesiunile de recapitulare.