Ecuații și sisteme de ecuații liniare

Acest material despre ecuații și sisteme de ecuații liniare cuprinde următoarele noțiuni: ecuații de forma ax+b =0, a,b ϵ R, a≠0, sisteme de două ecuații cu două necunoscute – metoda substituției și metoda reducerii.

Ecuația de forma ax+b =0, a,b ϵ R, a≠0
Ecuații și sisteme de ecuații liniare

x este necunoscuta, iar a și b se numesc coeficienți. b se mai numește termenul liber.

Soluția ecuației este x= \dfrac{-b}{a}

Două ecuații se numesc echivalente dacă au aceeași soluție.

Exemplu:

Rezolvați, în R, următoarea ecuație: 2x+5=4x-3

Mutăm totți termenii în partea stângă:

2x+5-4x+3=0

-2x+8=0

Identificăm coeficienții:

a=-2, b=8.

Calculăm necunoscuta:

x = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{-8}{-2}

x = 4

Scriem soluția ecuației:

S={4}

Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute

Sistemele de două ecuații liniare cu două necunoscute au forma:

\begin{cases} ax+by=c \\ mx+ny=p \end{cases}

a,b,c,m,n,p ϵ R.

Două sisteme de ecuații se numesc echivalente dacă au aceeași mulțime a soluțiilor.

Exemplu:

Rezolvați, în R, următorul sistem de ecuații:

\begin{cases} 2x-5y=-5 \\ 3x+y=18 \end{cases}

Metoda substituției

Se prelucrează una dintre ecuații, pentru a scoate una dintre necunoscute, în funcție de cealaltă:

2x=-5+5y

x = \dfrac{-5+5y}{2}

Se înlocuiește necunoscuta scoasă mai sus, în cealaltă ecuație, se aduce la o formă cât mai simplă, și astfel se detremină cealaltă necunoscută:

3x + y = 18

\dfrac{-5+5y}{2} + y = 18

\dfrac{3(-5+5y)}{2} + \dfrac{2y}{2} =18

\dfrac{-15+15y+2y}{2} =18

\dfrac{-15+17y}{2} =18

-15+17y=18·2

-15+17y=36

17y=36 + 15

17y=51

y=51:17

y=3

Se determină și necunoscuta substituită inițial:

x = \dfrac{-5+5y}{2}

x= \dfrac{-5+5 \cdot 3}{2}

x= \dfrac{-5+15}{2}

x= \dfrac{10}{2}

x= 5

Se scrie soluția sistemului: S={(5;3)}

Metoda reducerii

Se înmulțesc ambele ecuații cu câte un număr nenul, astfel încât, dacă adunăm cele două ecuații, termenii care conțin una dintre necunoscute să se reducă.

\begin{cases} 2x-5y=-5 / \cdot 3 \\ 3x+y=18 / \cdot \left(-2\right) \end{cases}

\begin{cases} 6x-15y=-15 \\ -6x-2y=-36 \end{cases}

Se adună cele două ecuații astfel obținute, astfel se determină una dintre necunoscute:

6x-15y-6x-2y=-15-36

-17y=-51

y=\dfrac{-51}{-17}

y=3

Se înlocuiește necunoscuta aflată, într-una dintre ecuații, pentru a afla cealaltă necunoscută:

3x+y=18

3x+3=18

3x=18-3

3x=15

x=15:3

x=5

Se scrie soluția sistemului: S={(5;3)}

Dacă ți-a plăcut materialul Ecuații și sisteme de ecuații liniare, nu uita să dai share paginii. Te aștept și la secțiunea Cursuri la matematică pentru a te înscrie la sesiunile de recapitulare.