Legi de compoziție 📚 Matematică România

Acest material despre legi de compoziție cuprinde următoarele noțiuni: definiție, exemple, proprietăți.

Definiție:

Fie $M$ o mulțime nevidă. O funcție (aplicație) $\varphi:M\times M\to M$ , $(x,y)\to\varphi(x,y)$ (perechii $(x,y)$ i se asociază valoarea $\varphi(x,y)$ ) se numește lege de compoziție sau operație algebrică pe mulțimea $M$ . (în loc de $\varphi(x,y)$ se poate folosi notația $x\varphi y$ )

Exemple:

Operațiile de adunare și înmulțire pe mulțimile de numere $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$
Operațiile de adunare și înmulțire pe mulțimile de matrice $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{N}), \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{Z}), \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{Q}), \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}), \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C})$
Operația de adunare a vectorilor din plan

Observație: Operația de adunare se notează cu +, iar cea de înmulțire cu $\cdot$ .

Exemplu. $+:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $(x,y)\to x+y$ (operația de adunare pe mulțimea numerelor reale)

$\cdot : \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C})\times\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C})\to\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C})$ , $(A,B)\to A\cdot B$ (operația de înmulțire a matricelor de tip $(m,n)$ de numere complexe)

Se pot defini legi de compoziție și folosind mai multe operații algebrice. (acestea se pot nota prin semnele *, $\circ$ , $\perp$ , T, etc)

Exercițiu. Se dau legile de compoziție $x*y=2x+5y-3$ și $x\circ y=xy-3x-3y+12$ .

a. Calculați i). $2*3$ , ii). $5\circ (-1)$ și iii). $2*(1\circ 0)$ .

b. Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuația $x*5=10$ .

c. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $x\circ x=7$ .

Rezolvare:

a. i). $2*3=2\cdot 2+5\cdot 3-3=4+15-3=16$ (se înlocuiește în legea de compoziție $x*y$ , $x$ cu 2 și $y$ cu 3)

ii). $5\circ (-1)=5\cdot (-1)-3\cdot 5-3\cdot (-1)+12=-5-15+3+12=-5$ (se înlocuiește în legea de compoziție $x\circ y$ , $x$ cu 5 și $y$ cu -1)

iii). $2*(1\circ0)=2*(1\cdot 0-3\cdot1-3\cdot 0+12)=2*(0-3-0+12)=2*9=$

$=2\cdot 2+5\cdot 9-3=4+45-3=46$ (se rezolvă mai întâi în interiorul parantezei)

b. $x*5=10\Rightarrow 2x+25-3=10\Rightarrow 2x=-12\Rightarrow x=-6$ .

c. $x\circ x=7\Rightarrow x^2-3x-3x+12=7\Rightarrow x^2-6x+5=0\Rightarrow x\in\{1;5\}$ .

Proprietăți:

Parte stabilă

Definiție: Fie legea de compoziție $*:M\times M\to M$ . O submulțime $S\subseteq M$ se numește parte stabilă a mulțimii M în raport cu legea de compoziție „*” dacă $\forall x,y\in S \Rightarrow x*y\in S$ .

Pentru cazul particular $S=M$ spunem că $M$ este parte stabilă în raport cu legea de compoziție „*”.

Exemple:

1. Fie $M=\bigg\{\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}; a\in\mathbb{R}\bigg\}$ și operația de înmulțire a matricelor. Atunci $M$ este parte stabilă în raport cu operația de înmulțire, deoarece $\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & a\cdot b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\in M$ , $\forall a,b\in \mathbb{R}$ .

2. Să considerăm operația de scădere pe mulțimea $\mathbb{R}$ . Mulțimea $\mathbb{N}\subset\mathbb{R}$ nu este parte stabilă în raport cu scăderea, deoarece pentru numerele naturale 3 și 7, avem $3-7=-4\notin\mathbb{N}$ (se pot găsi și

Comutativitate

Definiție: O lege de compoziție $*:M\times M\to M$ este comutativă dacă $x*y=y*x, \forall x,y\in M$ .

Exercițiu. Fie legile de compoziție $x*y=2x+2y+5$ și $x\circ y=xy-2x-3y$ pe mulțimea numerelor reale. Sunt comutative?

Rezolvare: Deoarece $y*x=2y+2x+5=2x+2y+5=x*y,\forall x,y\in\mathbb{R}$ rezultă că legea $*$ este comutativă.

Pentru a doua lege, avem de exemplu $1\circ 2=1\cdot 2-2\cdot 1-3\cdot 2=2-2-6=-6$ și $2\circ 1=2\cdot 1-2\cdot 2-3\cdot 1=2-4-3=-5$ , deci $x\circ y$ și $y\circ x$ nu au mereu aceeași valoare.

Asociativitate

Definiție: O lege de compoziție $*:M\times M\to M$ este asociativă dacă $(x*y)*z=x*(y*z), \forall x,y\in M$ .

Exercițiu. Arătați că legea de compoziție $x*y=xy-2x-2y+6$ este asociativă.

Rezolvare: Vom calcula pe rând $(x*y)*z$ și $x*(y*z)$ .

$(x*y)*z=(xy-2x-2y+6)*z=(xy-2x-2y+6)\cdot z-2(xy-2x-2y+6)-2z+6=xyz-2xz-2yz+6z-2xy+4x+4y-12+6=xyz-2xy-2yz-2xz+4xx+4y+4z-6$ . (1)

$x*(y*z)=x*(yz-2y-2z+6)=x\cdot (yz-2y-2z+6)-2x-2(yz-2y-2z+6)+6=xyz-2xy-2xz+6x-2x-2yz+4y+4z-12+6=xyz-2xy-2yz-2xz+4xx+4y+4z-6$ . (2)

Din relațiile (1) și (2) rezultă că $(x*y)*z$ și $x*(y*z), \forall x,y\in\mathbb{R}$ .

Element neutru

Definiție: Fie legea de compoziție $*:M\times M\to M$ . Spunem că legea „*” admite element neutru dacă există $e\in M$ cu proprietatea că $e*x=x*e=x, \forall x\in M$ . În acest caz, $e$ se numește element neutru pentru legea de compoziție „*” și este unic.

Exercițiu. Determinați elementul neutru al legii de compoziție: $x*y=xy+x+y, \forall x,y\in\mathbb{R}$ .

Rezolvare: $e\in\mathbb{R}$ este element neutru al legii de compoziție „*” dacă verifică relația $x*e=e*x=x, \forall x\in\mathbb{R}$ . Avem că $x*y=y*x, \forall x,y\in\mathbb{R}$ , deci este adevărat și pentru $x*e=e*x, \forall x\in\mathbb{R}$ .

Rezolvăm ecuația $x*e=x$ și obținem $xe+x+e=x\Rightarrow e(x+1)=0$ . Pentru ca ecuația anterioară să fie verificată $\forall x\in\mathbb{R}$ rezultă că $e=0\in\mathbb{R}$ este elementul neutru căutat.

Element simetrizabil. Simetricul unui element

Definiție: Fie legea de compoziție $*:M\times M\to M$ care admite elementul neutru $e$ . Spunem că elementul $x$ este simetrizabil în raport cu legea de compoziție „*” dacă există elementul $x'\in M$ cu proprietatea că $x*x'=x'*x=e$ . În acest caz, $x'$ se numește simetricul elementului $x$ în raport cu legea de compoziție „*”.

Exercițiu. Aflați elementele simetrizabile ale legii de compoziție $x*y=xy-3x-3y+12, \forall x,y\in\mathbb{R}$ și $x\circ y=xy-3x-3y+12, \forall x,y\in\mathbb{Z}$ .

Rezolvare: Mai întâi calculăm elementul neutru al celor două legi. Fie $e\in\mathbb{R}$ astfel încât $x*e=e*x=x$ . Legea „*” este comutativă, deci $x*e=e*x, \forall x\in\mathbb{R}$ . Din $x*e=x\Rightarrow xe-3x-3e+12=x\Rightarrow e(x-3)-4(x-3)=0$ $\Rightarrow (e-4)(x-3)=0$ care se verifică pentru orice $x$ real dacă $e=4\in\mathbb{R}$ . La fel obținem elementul neutru $e=4\in\mathbb{Z}$ și pentru legea „ $\circ$ „.

Fie $x'\in\mathbb{R}$ cu proprietatea că $x*x'=x'*x=4$ . Avem că $x*y=y*x,\forall x,y\in\mathbb{R}\Rightarrow x*x'=x'*x, \forall x\in\mathbb{R}$ .

Din $x*x'=4\Rightarrow xx'-3x-3x'+12=4\Rightarrow x'(x-3)=3x-8$ $\Rightarrow x'=\frac{3x-8}{x-3}\in\mathbb{R}, \forall x\neq3$ . Așadar, elementele simetrizabile ale legii de compoziție „*” sunt cele din mulțimea $\mathbb{R}-\{3\}$ .

Pentru legea $\circ$ avem de rezolvat aceeași ecuație $x'(x-3)=3x-8 \Rightarrow x'=\frac{3x-8}{x-3}, \forall x\neq3$ , dar trebuie să punem condiția $x'\in\mathbb{Z}$ . Putem scrie $\frac{3x-8}{x-3}=\frac{3x-9+1}{x-3}=\frac{3x-9}{x-3}+\frac{1}{x-3}=3+\frac{1}{x-3}$ care este număr întreg pentru $x-3\in\{1,-1\}\Rightarrow x\in\{4,2\}$ , acestea fiind elementele simetrizabile ale legii de compoziție „ $\circ$ „.

Utilizarea legi de compoziție în viața de zi cu zi

Legile de compoziție matematice sunt principii fundamentale care stau la baza structurării și organizării datelor și elementelor în diverse domenii. De la afaceri și tehnologie până la știință și design, aceste legi oferă un cadru logic și coerent pentru a face conexiuni și a realiza analize relevante. Acest articol explorează modul în care legile de compoziție matematice sunt folosite în viața de zi cu zi.

1. Afaceri și Analize Economice: În lumea afacerilor, legile de compoziție matematice sunt esențiale pentru analizele economice. Aceste legi ghidează calculele de profit și pierdere, analizele de tendințe și estimările financiare. Prin aplicarea acestor legi, deciziile de investiții și strategiile de creștere pot fi fundamentate pe date precise și extrapolări corecte.

2. Tehnologie și Dezvoltare Software: În domeniul tehnologiei, legile de compoziție matematice sunt aplicate în dezvoltarea software-urilor complexe. De la algoritmi de criptare la procesarea datelor, aceste legi asigură funcționalitatea corectă și optimizată a aplicațiilor și platformelor tehnologice.

3. Știință și Analize Statistice: În domeniul științei, legile de compoziție matematice sunt fundamentale pentru analizele statistice. Aceste legi sunt folosite pentru interpretarea datelor experimentale, pentru stabilirea corelațiilor și pentru formularea concluziilor științifice solide.

4. Design Grafic și Vizualizare Creativă: În designul grafic și vizualizarea datelor, legile de compoziție matematice sunt aplicate pentru a crea imagini și grafice atrăgătoare și înțelese ușor. Principiile de proporție, balanță și focalizare ghidează crearea unor materiale vizuale pline de impact.

Concluzie:

Legile de compoziție matematice au o prezență puternică și semnificativă în viața noastră de zi cu zi, având un impact într-o varietate de domenii. De la luarea deciziilor economice informate la dezvoltarea tehnologiei avansate și la crearea de vizualizări atractive, aceste legi furnizează un cadru esențial pentru a ne orienta prin complexitatea lumii moderne. Cunoașterea și aplicarea corectă a acestor legi ne ajută să înțelegem mai profund și să navigăm cu încredere prin provocările și oportunitățile prezentului.

Dacă ți-a plăcut materialul despre legi de compoziție, nu uita să dai share paginii. Te aștept și la secțiunea Cursuri la matematică pentru a te înscrie la sesiunile de recapitulare.